Test de primalité à la Lucas-Lehmer-Test pour les nombres de Wagstaff

Bonjour,

Il y a maintenant pas mal d’années, j’ai eu une activité intense dans un domaine mathématique très particulier : les tests et preuves de primalité des nombres de Mersenne et des nombres de Fermat, basés sur la technique du LLT (Lucas-Lehmer-Test), inventé par E. Lucas puis prouvé formellement par D. Lehmer, et basé sur les livres de P. Ribenboim et HC Williams. J’ai ainsi contribué au GIMPS (https://www.mersenne.org/) et à son forum mathématique, et j’ai aussi vérifié 7 nombres de Mersenne premiers.

En gros, le LLT, utilisé traditionnellement pour les nombres de Mersenne, peut aussi être utilisé pour les nombres de Fermat (et est équivalent au test de Pépin).
Voir : https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%E2%80%93Lehmer_primality_test et : https://arxiv.org/abs/0705.3664 et : https://pdfs.semanticscholar.org/2955/e84599a8037df683b638b84ca3afe8ec7ef4.pdf .

Ce test de primalité utilise l’arbre principal du DiGraph généré par le llt : $x^{2} - 2 (mod N)$ où N est un nombre de Mersenne $2^q-1$ (q premier) ou de Fermat $2^{2^n}+1$.

Mais, pour les nombres de Wagstaff, $\frac{2^q+1}{3}$ avec q premier, le DiGraph généré ne possède pas d’arbre, mais seulement des cycles. L’idée est donc d’utiliser un cycle de ce DiGraph pour prouver qu’un nombre de Wagstaff est premier, ce qui revient à changer la valeur finale du test LLT. Voir : http://tony.reix.free.fr/WagstaffReward/ConjectureLLTCyclesMersenne2.pdf .

Ce nouveau test permettrait de prouver TRÈS rapidement (aussi rapidement que pour un nombre de Mersenne) qu’un nombre de Wagstaff est premier. Comme les nombres de Wagstaff (à l’opposé des nombres de Fermat) sont très nombreux, cela permettrait de courir après une 2ème sorte de très grands nombres premiers, en plus des nombres de Mersenne. Voir : https://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=102

Pour le moment, je n’ai qu’une preuve mathématique que, si le nombre de Wagstaff est premier, alors il vérifie une propriété (cycle dans le Digraph). Au moyen de ce test et d’un logiciel implémentant l’idée dénommé Vrba-Reix (du nom des 2 inventeurs), j’avais un record de PRP (PRobably Prime) de nombres de Wagstaff (voir Wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Wagstaff_prime) : $\frac{2^{4031399}+1}{3}$ .

Il reste donc à prouver la réciproque… et cela dépasse mes capacités, mais peut-être que d’autres outils mathématiques seraient plus à même de fournir une preuve complète.

Bref, j’expose ici le problème et j’espère que d’autres personnes (de "vrais" mathématiciens) exploreront le sujet, utiliseront d’autres outils, et arriveront enfin à fournir la preuve de la réciproque.

Cordialement

Tony Reix